# Expectation of X^n; X~N(u,sigma^2)

Posted 2011.10.24 21:48
When X~N(u,sigma^2)
then Expectation of X^n can be solved easily using MGF(Moment Generating Function)

OrderRaw momentCentral momentCumulant
1 μ 0 μ
2 μ2 + σ2 σ 2 σ 2
3 μ3 + 3μσ2 0 0
4 μ4 + 6μ2σ2 + 3σ4 3σ 4 0
5 μ5 + 10μ3σ2 + 15μσ4 0 0
6 μ6 + 15μ4σ2 + 45μ2σ4 + 15σ6 15σ 6 0
7 μ7 + 21μ5σ2 + 105μ3σ4 + 105μσ6 0 0
8 μ8 + 28μ6σ2 + 210μ4σ4 + 420μ2σ6 + 105σ8 105σ 8 0

일반적인 경우의 MGF는 다음과 같다.

If X has a continuous probability density function ƒ(x), then MX(−t) is the two-sided Laplace transform of ƒ(x).

\begin{align} M_X(t) & = \int_{-\infty}^\infty e^{tx} f(x)\,dx \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left( 1+ tx + \frac{t^2x^2}{2!} + \cdots\right) f(x)\,dx \\ & = 1 + tm_1 + \frac{t^2m_2}{2!} +\cdots, \end{align}
where mi is the ith moment.

여러 분포 함수들의 MGF 는 다음과 같다.
DistributionMoment-generating function MX(t)Characteristic function φ(t)
Bernoulli $\, P(X=1)=p$   $\, 1-p+pe^t$   $\, 1-p+pe^{it}$
Geometric $(1 - p)^{k-1}\,p\!$   $\frac{pe^t}{1-(1-p) e^t}\!$,
for  $t<-\ln(1-p)\!$
$\frac{pe^{it}}{1-(1-p)\,e^{it}}\!$
Binomial B(n, p)   $\, (1-p+pe^t)^n$   $\, (1-p+pe^{it})^n$
Poisson Pois(λ)   $\, e^{\lambda(e^t-1)}$   $\, e^{\lambda(e^{it}-1)}$
Uniform U(a, b)   $\, \frac{e^{tb} - e^{ta}}{t(b-a)}$   $\, \frac{e^{itb} - e^{ita}}{it(b-a)}$
Normal N(μ, σ2)   $\, e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}$   $\, e^{it\mu - \frac{1}{2}\sigma^2t^2}$
Chi-square χ2k   $\, (1 - 2t)^{-k/2}$   $\, (1 - 2it)^{-k/2}$
Gamma Γ(k, θ)   $\, (1 - t\theta)^{-k}$   $\, (1 - it\theta)^{-k}$
Exponential Exp(λ)   $\, (1 - t\lambda^{1})^{-1}$   $\, (1 - it\lambda^{1})^{-1}$
Multivariate normal N(μΣ)   $\, e^{t^\mathrm{T} \mu + \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}$   $\, e^{i t^\mathrm{T} \mu - \frac{1}{2} t^\mathrm{T} \Sigma t}$
Degenerate δa   $\, e^{ta}$   $\, e^{ita}$
Laplace L(μ, b)   $\, \frac{e^{t\mu}}{1 - b^2t^2}$   $\, \frac{e^{it\mu}}{1 + b^2t^2}$
Cauchy Cauchy(μ, θ) not defined   $\, e^{it\mu -\theta|t|}$
Negative Binomial NB(r, p)   $\, \frac{(1-p)^r}{(1-pe^t)^r}$   $\, \frac{(1-p)^r}{(1-pe^{it})^r}$

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