Riemannian Manifold

In differential geometry, a (smooth) Riemannian manifold or (smooth) Riemannian space (M,g) is a real smooth manifold M equipped with an inner product on the tangent space at each point that varies smoothly from point to point in the sense that if X and Y are vector fields on M, then is a smooth function.

이라고 한다. 

매니폴드라는 것은 topological space의 일종이다. 중요한 특징은 여기의 open set (topological space니까 물론 정의 가능하지)을 locally Euclidean하게 보내는 1:1 onto (bijective) mapping이 있다. 

고리고, 여기서 미분을 정의해보자. 요기서부터 (이제 막 시작했는데,) 어렵다. 많이 어렵다. 요튼 간에, 맨 처음 정의하는 것은 tangential vector이다. 문제는 요 접벡터를 정의하려면 M위에서 정의된 어떤 방향 벡터가 필요하게 된다. 혹은 어떤 속도 벡터? 그래서 이 속도 벡터로 만들어지는 접 평면을 TpM이라고 부른다. M위에 있는 p의 접벡터로 만들어지는 (span) 공간이다. 그리고 이 공간은 vector space가 된다. 

그러면 이제 미분을 정의해보자. 사실 미분이라는 연산은 TpM에서 Tf(p)N으로 가는 linear map이다. 무슨 소린지 나도 잘 모르겠다. 여튼 TpM과 Tf(p)N은 모두 vector space이고, 이 두 공간 사이의 정의되는 아주 이쁜 연산이 된다. 사실 매니폴드 자체는 topological space이기 때문에 이렇게 linear map을 정의하기가 힘들다. 

그리고 우리의 이번 관심사였던 리메니안 매니폴드는 접평면에서 내적의 정의된 공간이다. 내적이 정의되면 norm을 정의할 수 있고, 크기를 정의할 수 있다. 엄청나다. 크기라니. 그러면 길이도 정의할 수 있고, 부피도, 에너지도!! 요 에너지가 중요하다. 

고러면 이제 갑자기 지오데식이 나온다. 지오데식이 무엇인고 하니, 에너지를 최소로 하면서 두 점을 연결하는 곡선이다. 물론 매니폴드 위에서. 

수식 유도는 복잡하지만 노경민 선생님이 다해주셨으므로 난 아직도 잘 모르겠다. 

하지만 한가지 알 수 있는 건 이 개념은 분명 optimal control과 이어진다.