Manifold가 무엇일까?

Manifold란 무엇일까? 

1. Manifold는 topological space의 일부이다?

2. Locally Euclidean 하다. 

3. 어려운 말 집어치우고, 어떤 공간이 있다고 하자. 예를 들면 n 차원 공간이 있다고 하자. 

4. 그리고, 이 공간이 특정 open set의 union으로 표현된다고 하자. 

5. 위 돼지의 패치들이 open set이라고 볼 수 있다. 

6. 이러한 각 패치들이 n 차원 공간과 homeomorphic한 관계를 갖고 있다. 

Homeomorphic ( = topological isomorphism)

 continuous이고, inverse가 continuous 이다. 

 이러한 관계는 topological property를 보존한다. 

 아마? one-to-one onto (bijective) mapping 일 것이다. 

7. 이게 다다... 

8. 삼차원 공간속에서 정의된 이차원 표면은 이차원 manifold이다. 

Partition of Unity (of a topological space '$X$')

1. continuous function의 집합 '$R$'

2. '$X$'에서 unit interval [0 1]로 보내주는 함수의 집합

3. manifold에서 정의된 함수의 적분에 사용될 수 있다. 

4. 어떤 '$x \in X$'에 대해서 함수 '$\rho \in R$' 의 합은 1이다. 

$$  \sum_{\rho \in R} \rho(x) = 1  $$

5. 즉 일종의 weighted sum을 할 때 사용될 수 있다.