Fundamental Group

Fundamental Group 이란 무엇일까? 

Algebraic topology에서 말하는 fundamental group은 group 내에 있는 임의 두 point를 잇는 path들이 

"continuously deformed into each other" 할 수 있는 group을 의미한다. 이러한 fundamental group은 가장 간단한 homotopy group이다. 

Homotopy group

 - Homotopy group이란 개념은 algebraic topology에서 topological class들을 분류하기 위해서 사용된다. 기본 개념은 해당 공간 속에 loop를 놓고, loop을 점점 줄였을 때, 어떤 일이 벌어지는 것을 보는 것이다. 직관적으로 생각해서 topological space에서 hole에 대한 정보를 가지고 있다. 바꿔 말하면, hole의 관점에서 같은 정보를 갖고 있다면, 같은 homotopy group으로 보겠다는 것이다. 

 - 즉 topology와 group theory를 연결해준다. 

 - 만약 두 topological object가 다른 homotopy group을 갖는다면, 이 둘은 다른 topological structure를 갖는다. 수학적으로 topology만을 사용해서는 보이기 힘든 경우가 많다. 예를 들어서, 

                      

위의 sphere와 torus는 다른 homotopy group을 갖는다. 쉽게 생각해서 sphere의 경우는 하나의 선으로 매듭을 만들고 당겼을 경우 항상 한 점으로 수렴하지만, torus의 경우는 그렇지 않다. 이를 topological structure만 가지고 분류하는 것은 쉽지 않다. 그 차이는 local structure와 global structure에서 오는데, homotopy는 전체 영역에서 임의의 ring을 만들고, 이를 줄여나가기 때문에 global structure를 다를 수 있지만, topology는 local한 영역을 주로 다룬다. (continuity, open, closeness) 

 - 위의 torus '$T$'의 homotopy group은

$$ \pi_1(T) = Z^2 $$ 

이고, Sphere '$S^2$'의 homotopy group은 

$$ \pi_1(S^2) = 0 $$ 

이다. 이는 torus에선 ring을 잡고, 줄여도 한 점으로 항상 수렴하지 않지만, 구에서는 항상 수렴하기 때문이다. 이를 통해서 우리는 이 두 topological space 사이에 homeomorphism이 잆음을 알 수 있다. 

Homeomorphic한 (1:1 onto) 두 topological space들은 같은 fundamental group을 갖는다. 

Fundamental group들은 covering space에 대한 이론을 통해서 다뤄질 수 있다. (여긴 잘 모르겠다) 

어떤 fundamental group의 abelianization은  

Abelianization

 - 어떤 group $G$를 abelian group으로 바꿔주는 것을 의미한다. $G \to G/[G, G]$는 abelianization이다. Abelian group은 commutative를 만족하는 group operation이 있는 group을 나타내고 다음의 성질을 만족한다. 

  1. Closure: '$\forall a, b \in A, a \bullet b \in A$'

  2. Associativity: '$ (a \bullet b) \bullet c = a \bullet (b \bullet c) $' 

  3. Identify element: '$\exists e \in A s.t. a \bullet e = e \bullet a = a $'

  4. Inverse element: '$\forall a \in A, \exists b \in A s.t. a \bullet b = e $'

  5. Commutativity: '$\forall a, b \in A, a \bullet b = b \bullet a $'