푸리에 변환과 라플라스 변환

1. 적분 변환의 정의

 푸리에 변환과 라플라스 변환은 모두 적분 변환(Integral Transform)의 일종이다. 적분 변환은 "적분을 이용하여 함수를 함수로 옮기는 사항"이다. 이것의 수학적 정의는 다음과 같다. 적분은 아주 좋은 lienar map이다. 

$$ T[f(u)] = \int_{u_1}^{u_2} K(u,v)f(u) du = F(v) $$ 

위 식의 설명은 다음과 같다. 먼저, 함수 K(u,v)는 독립 변수가 u, v 두 개인 함수이다. 이는 이 적분 변환의 커널 함수(Kernel Function)이라도 한다. 따라서 적분 변환은 함수 f(u)에 커널 함수 K(u,v)를 곱하고 이 것을 어떤 구간 [u1, u2]에 대하여 정적분(Definite Integral) 한 것이다. 이렇게 변환을 시키고 나면 원래 '$u$'의 함수였던 '$f(u)$'가 '$v$'의 함수인 '$F(v)$'로 바뀌게 된다. 함수의 입력이 바뀐다고? 이게 몬소리야? 라고 생각할 수 있겠지만, 함수를 무한차원의 벡터라 생각하면, 그냥 각 차원 별로 나타내기 위해서 새로운 '$v$'가 생겼다고 이해하면 된다. 

 그렇다면, 왜 적분 변환을 하느 것일까? 함수 '$f(u)$'를 '$u$'의 영역에서 처리하기 어려울 때, 적분 변환을 통하여 '$v$'의 영역에서 처리한 후, 다시 '$u$'의 영역으로 돌리기 위해서이다. (이는 역변환이 존재할 경우에 한정되지만, 대부분 존재한다.)

정말로 그런지는 좀 생각해봐야 한다. linear map의 역의 존재성과 유일성에 대해서는 아래 링크를 참고하자.

 http://mathonline.wikidot.com/invertibility-of-a-linear-map 

Linear map이 invertible하면, 그 inverse map은 unique하다. 수학자들은 existence와 uniqueness를 중요하게 생각하더라. 꼼꼼한 사람들.. 그리고, invertible linear map은 bijective와 동치이다. 즉 1:1 onto이다. 

2. 푸리에 변환의 정의

 푸리에 변환(Fourier Transform)의 정의는 다음과 같다. 

$$ F[f(t)] - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jwt} f(t) dt = F(w) $$

여기서 커널 함수는 '$e^{-jwt}$'로 시간 '$t$'와 주파수 '$w(=2 \pi f)$'의 이변수 함수로, 이 변환을 통해서 시간의 함수 '$f(t)$'는 Time Domain에서 Frequency Domain으로 옮겨진다. 이때 적분이 가능하려면, 적분 변환의 정적분 결과가 수렴해야 한다. 푸리에 변환에서 커널 함수인 '$e^{-jwt}$'의 크기는 1이므로, 수렴 조건은 다음과 같이 주어진다. 

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jwt} f(t) dt \le \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt \le \int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|dt < \infty $$

 

 역 푸리에 변환(Inverse Fourier Transform)은 다음과 같다. 

$$ F^{-1}[F(w)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} e^{jwt} F(w) dw = f(t) $$

3. 라플라스 변환의 정의

 라플라스 변환(Laplace Transform)에는 두 가지가 있다. 하나는 양방향 라플라스 변환(Bilateral Laplace Transform)이고, 다른 하나는 단방향 라플라스 변환(Unilateral Laplace Transform)이다. 여기서는 단뱡향 라플라스 변환만을 다루겠다. 먼저 단뱡향 라플라스 변환의 정의는 다음과 같다. (양방향 라플라스 변환은 적분 구간이 '$-\infty$'에서 '$+\infty$'이다.)

$$L[f(t)] = \int_0^{\infty} e^{-st}f(t) dt = F(s) $$

여기서 s는 복소수로 라플라스 변환은 Time Domain에 있는 '$f(t)$'를 Complex Number Domain에 있는 

$F(s)$'로 변환시킨다. 위와 마찬가지로 적분이 가능하기 위해선, 적분 변환의 정적분 결과가 수렴해야 한다. 단방향 라플라스 변환의 수렴조건은 다음을 만족시키는 '$M$'과 '$r$'이 존재하기만 하면 된다. 

$$ |f(t)| < Me^{rt} $$

 역 라플라스 변환(Inverse Laplace Transform)은 다음과 같다. 

$$ L^{-1}[F(s)] = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma_1-j \infty}^{\sigma_1 + j \infty} e^{st} F(s) ds = f(t) $$

4. 푸리에 변환과 라플라스 변환

 푸리에 변환은 라플라스 변환에 포함된다고 볼 수 있다. 라플라스 변환을 위해 사용하는 커널 함수에서 복소수 s는 실수부와 허수부로 이뤄지는데 이 실수부가 0인 경우가 라플라스 푸리에 변환인 것이다. 두 변환의 관계를 정리해 보면 다음과 같다. 

$$ L[f(t)] = \infty_{0}^{\infty} e^{-(\sigma+jw)t} f(t) dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jwt} e^{-\sigma t} f(t) dt = F[e^{-\sigma t} f(t)] $$

 즉 어떤 함수 '$f(t)$'의 라플라스 변환은 '$f(t)$'에 감쇠 함수 '$e^{-\sigma*t}$'를 곱하여 푸리에 변환한 것과 같다. 

푸리에 변환과 라플라스 변환 - 푸리에 변환 짱이다. 아주 멋지다. 다만 문제가 하나 있다. 그것은 수렴 조건을 만족해야 한다는 것이다. 즉 함수 자체가 L1에 들어가야 한다. 근데 모든 함수가 이렇지는 않다. 라플라스 변환의 경우 위에서 볼 수 있는 것처럼 어떤 줄어드는 함수를 곱해서 푸리에 변환을 한 것이기 때문에 수렴을 시키기가 훨씬 쉬워진다. (단방향의 경우 그렇다.) 우리가 '$t$'를 물리적 시간이라고 단정짓게 되면, 시간은 앞으로만 흘러가므로 (아마도?) 단뱡향 라플라스 변환을 사용하는 것이 아주 당연해진다. 그리고 이 경우는 exponentially increasing function만 아니면 단방향 라플라스 변환을 손쉽게 수렴시킬 수 있다. 

조금 수학적 얘기를 하면 푸리에 변환은 사실 isometry map이다. (L2에 대해선가.. 아마도?) 다시 말해서 공간 속에 크기도 보존하면서 다른 basis를 갖는 공간으로 옮겨준다. 그냥 같은 공간이라고 볼 수 있다. 일종의 projection이다. (사실 그냥 projection이다.) 

5. 푸리에 변환 표(Transform Table)

6. 라플라스 변환 표(Transform Table)

라플라스변환표.hwp

원글: http://blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=sglee84&logNo=110046519870